Beispiele für die Arbeit mit Maxima

Hier werden Beispiele gezeigt, wie mit dem Computeralgebrasystem Maxima Aufgaben bearbeitet werden können. Die Beispiele entsprechen einer Vorlesung für Naturwissenschaftler, die zwei Semester Mathematik belegen müssen.

Die Beispiele wurden vollständig mit wxMaxima erstellt und aus wxMaxima nach HTML exportiert.

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2 Ableitung von Funktionen

Beispiel 1: Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten

Zu Beginn der Sitzung löschen wir eventuell vorhandene Variablen und Funktionsdefinitionen mit der Funktion kill.

(%i1)

kill(all)$

Wir zeigen die Definition des Differenzenquotienten in der Schreibweise von Maxima.

Die Funktion limit bildet den Grenzert. Das erste Argument ist der Ausdruck für den der Grenzwert bestimmt werden soll. Es folgen die Grenzwertvariable und der Wert gegen den die Variable gehen soll.

(%i1)

limit((f(x+h)-f(x))/h, h, 0);

Im folgenden definieren wir jeweils die Funktion und bilden dann den Differenzenquotienten.

(%i2)

f(x):=x^2$

(%i3)

limit((f(x+h)-f(x))/h, h, 0);

(%i4)

f(x):=sqrt(x)$

(%i5)

limit((f(x+h)-f(x))/h, h, 0);

(%i6)

f(x):=10/x$

(%i7)

limit((f(x+h)-f(x))/h, h, 0);

(%i8)

f(x):=3*x^3$

(%i9)

limit((f(x+h)-f(x))/h, h, 0);

Beispiel 2: Summenregel

Für die folgenden Funktionen ist die Summenregel der Ableitung anzuwenden.

Die Summenregel wie sie Maxima in einer symbolischen Schreibweise anwendet.

(%i10)

f(x):=u(x)+v(x)$

Die Ableitung wird mit der Funktion diff gebildet. Das erste Argument ist die Funktion und das zweite Argument die Variable.

(%i11)

diff(f(x),x);

Hinweis: Höhere Ableitungen und partielle Ableitungen sind ebenfalls möglich. Das folgende Beispiel zeigt ein Beispiel für die Schreibweise.

(%i12)

kill(f)$
diff(f(x,y),x,2,y,3);

Die folgenden Beispiele zeigen die Ergebnisse für die erste Ableitung verschiedener Funktionen.

(%i14)

f(x):=4*x^5 + x^(1/3) + a^10$

(%i15)

diff(f(x), x);

(%i16)

f(x):= exp(x) - sin(x) + cos(x)$

(%i17)

diff(f(x), x);

(%i18)

f(x):= a^n*x^n + b^(n-1)*x^(n-1) + c*n$

(%i19)

diff(f(x), x);

Beispiel 3: Kettenregel

In den folgenden Beispielen wendet Maxima die Kettenregel an.

(%i20)

f(x):= sin(2-x^3+3*x^4)$

(%i21)

diff(f(x), x);

(%i22)

f(x):= exp(x^2+3*x)$

(%i23)

diff(f(x), x);

(%i24)

f(x):= log(cos(x^2))$

(%i25)

diff(f(x), x);

Beispiel 4: Produktregel

Anwendung der Produktregel für die Ableitung von Funktionen.

Zunächst die Produktregel in der symbolischen Schreibweise von Maxima.

(%i26)

f(x):= u(x) * v(x)$

(%i27)

diff(f(x), x);

Beispiele für die Anwendung der Produktregel für die Ableitung von Funktionen.

(%i28)

f(x):= exp(x)*sin(x)$

(%i29)

diff(f(x), x);

(%i30)

f(x):= x^2*sqrt(3*x)$

(%i31)

diff(f(x), x);

(%i32)

f(x):= 7*x^(1/3)*log(x)$

(%i33)

diff(f(x),x);

Beispiel 5: Quotientenregel

Beispiele für die Anwendung der Quotientenregel.

Die Quotientenregel in der symbolischen Schreibweise von Maxima.

(%i34)

f(x):= u(x)/v(x)$

Das Ergebnis wird mit der Funktion ratsimp vereinfacht, um ein Ergebnis zu erhalten, dass der bekannten Lehrbuchformel ähnelt. Maximas Ergebnis unterscheidet sich durch die Reihenfolge der Terme im Nenner des Ausdrucks von einer Lehrbuchformel.

(%i35)

diff(f(x), x),ratsimp;

Beispiele für die Anwendung der Quotientenregel für die Ableitung von Funktionen.

(%i36)

f(x):= log(x)/x^2$

(%i37)

diff(f(x), x);

(%i38)

f(x):= sqrt(x)/(x+1)^2$

(%i39)

diff(f(x), x);

(%i40)

f(x):= exp(2*x)/(x-1)$

(%i41)

diff(f(x), x);

Beispiel 6: Gemischte Ableitungen

(%i42)

f(x):= log(log(log(x)))$

(%i43)

diff(f(x), x);

(%i44)

f(x):= x^2*cos(x)/(x+1)$

(%i45)

diff(f(x), x);

(%i46)

f(x):= exp(x*sin(x))$

(%i47)

diff(f(x), x);

(%i48)

f(x):= log(2*x)*sin(sqrt(x^2+1))$

(%i49)

diff(f(x), x);

Beispiel 7: Ableitung der Umkehrfunktion

Wir definieren die Funktion y(x) = x^(1/6) als eine Gleichung und nehmen an, dass y>0 ist.

(%i50)

assume(y>0)$
eqn: y=x^(1/6);

Wir lösen die Gleichung mit der Funktion solve nach x auf. An dieser Stelle benötigt die Funktion solve die Information, dass y>0 ist.

(%i52)

solve(eqn, x);

Mit der Funktion first bekommen wir das erste Element der obigen Liste. Das ist in diesem Fall unsere inverse Funktion. Dann differenzieren wir die rechte Seite der Gleichung und nehmen den Kehrwert.

(%i53)

1/diff(rhs(first(%)),y);